定理の教科書

準同型定理(群の第一同型定理)

分野: 代数 · 想定レベル: 大学教養レベル(1〜2年) · 最終更新: 2026-09-14

ひとことで言うと: 群 GG から群 HH への「構造を保つ写像」φ\varphi があるとき、φ\varphi がつぶしてしまう部分(核)で GG を割った群は、φ\varphi が実際に届く範囲(像)とそっくり同じ構造をしている。 G/ker⁡φ  ≅  im⁡φG / \ker\varphi \;\cong\; \im\varphi

この章の目次

この定理が言っていること

写像 φ\varphi は、GG の元をいくつかまとめて同じ行き先に送ることがあります。「どの元とどの元が同じ行き先になるか」を決めているのが核(かく)ker⁡φ\ker\varphi です。準同型定理は、

核の分だけ「同じもの」とみなして GG を眺め直すと、それは φ\varphi の行き先の集まり(像)と、群として区別がつかない

と言っています。つまり「φ\varphi が失う情報」と「φ\varphi が残す情報」が、きれいに分かれるのです。

この定理は、抽象的に定義された商群 G/NG/N を「具体的な、よく知っている群」として理解するための、もっとも基本的な道具です。

準備:言葉の確認

以下の言葉は、それぞれ独立した章で詳しく扱います。ここでは本章を読むのに必要な範囲で確認します。

定義(群)

集合 GG に「掛け算」(二項演算 a⋅ba \cdot b)が定まっていて、次の3つを満たすとき、GG を群といいます。 (1) 結合法則 (ab)c=a(bc)(ab)c = a(bc)、(2) 単位元 ee があり ea=ae=aea = ae = a、(3) どの aa にも逆元 a−1a^{-1} があり aa−1=a−1a=eaa^{-1} = a^{-1}a = e。 例: 整数全体 Z\Z は足し算で群(単位元は 00、nn の逆元は −n-n)。00 を除く実数 R×\R^\times は掛け算で群。

定義(準同型写像)

群 GG から群 HH への写像 φ\varphi が、すべての a,b∈Ga, b \in G について φ(ab)=φ(a) φ(b)\varphi(ab) = \varphi(a)\,\varphi(b) を満たすとき、φ\varphi を準同型写像(または単に準同型)といいます。「先に掛けてから送っても、送ってから掛けても同じ」、つまり演算の構造を保つ写像です。 このとき自動的に φ(e)=e\varphi(e) = e、φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1} が成り立ちます。

定義(核と像)

準同型 φ:G→H\varphi : G \to H に対して、 ker⁡φ={ g∈G∣φ(g)=e },im⁡φ={ φ(g)∣g∈G }\ker\varphi = \set{\,g \in G \mid \varphi(g) = e\,}, \qquad \im\varphi = \set{\,\varphi(g) \mid g \in G\,} を、それぞれ φ\varphi の核、像といいます。核は「単位元に送られてしまう元の集まり」、像は「実際に行き先として現れる元の集まり」です。核は GG の部分群、像は HH の部分群になります。

定義(正規部分群と商群)

GG の部分群 NN が、すべての g∈Gg \in G、n∈Nn \in N について gng−1∈Ng n g^{-1} \in N を満たすとき、NN を正規部分群といいます。 正規部分群 NN に対して、gg と g′g' を「g−1g′∈Ng^{-1}g' \in N のとき同じとみなす」ことにして GG をまとめ直した集合を G/NG/N と書き、gg の属するまとまり(剰余類)を gNgN と書きます。NN が正規なら G/NG/N には (gN)(g′N)=(gg′)N(gN)(g'N) = (gg')N という演算が矛盾なく定まり、群になります。これを商群(剰余群)といいます。

商群は、慣れないうちはとても抽象的に見えます。準同型定理の価値は、この抽象的な G/NG/N を「見慣れた群」に翻訳してくれるところにあります。

具体例で見る

定理を述べる前に、3つの例で「核で割ると像になる」感覚をつかみます。

例1:実数の符号

00 でない実数の掛け算の群 R×\R^\times から、{+1,−1}\set{+1, -1}(掛け算で群)への写像を φ(x)={+1(x>0)−1(x<0)\varphi(x) = \begin{cases} +1 & (x > 0) \\ -1 & (x < 0) \end{cases} と定めます。「正×正=正、正×負=負、負×負=正」なので φ(xy)=φ(x)φ(y)\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)、つまり準同型です。 核は φ(x)=+1\varphi(x) = +1 となる xx、すなわち正の実数全体 R>0\R_{>0}。像は {+1,−1}\set{+1,-1} 全体。 準同型定理は R×/R>0≅{+1,−1}\R^\times / \R_{>0} \cong \set{+1, -1} と言います。「大きさの違いを無視して(正の数倍を同一視して)実数を眺めると、残るのは符号だけ」。これはまさに私たちの直観どおりです。

例2:実数を円に巻きつける

足し算の群 R\R から、絶対値 11 の複素数の掛け算の群 S1={z∈C∣∣z∣=1}S^1 = \set{z \in \C \mid |z| = 1} への写像 φ(t)=e2πit\varphi(t) = e^{2\pi i t} を考えます。指数法則 e2πi(s+t)=e2πise2πite^{2\pi i(s+t)} = e^{2\pi i s} e^{2\pi i t} が「足し算を掛け算に送る」準同型であることを示しています。 φ(t)=1\varphi(t) = 1 となるのは tt が整数のときなので、核は Z\Z。像は円周 S1S^1 全体です。 準同型定理: R/Z≅S1\R / \Z \cong S^1。「実数直線を、整数分のずれを同一視して丸めると円になる」。時計の文字盤で 13 時と 1 時を同じと見るのと同じ考え方です。

例3:行列式

nn 次の正則行列(逆行列をもつ行列)全体 GLn(R)GL_n(\R) は行列の積で群をなし、行列式 det⁡:GLn(R)→R×\det : GL_n(\R) \to \R^\times は det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B\det(AB) = \det A \det B を満たすので準同型です。 核は det⁡A=1\det A = 1 となる行列全体 SLn(R)SL_n(\R)、像は R×\R^\times 全体(対角成分を調節すれば任意の 00 でない値が作れる)。 準同型定理: GLn(R)/SLn(R)≅R×GL_n(\R)/SL_n(\R) \cong \R^\times。「行列式が 11 の行列を無視して正則行列を眺めると、残るのは『行列式の値』という一つの数だけ」。

どの例でも、核は「φ\varphi が見分けられないもの」、像は「φ\varphi が見分けたもの」で、前者で割ると後者が残る、という同じ形をしています。

定理の主張

定理(準同型定理/群の第一同型定理)

φ:G→H\varphi : G \to H を群の準同型写像とする。このとき、

  1. ker⁡φ\ker\varphi は GG の正規部分群である。
  2. gN↦φ(g)gN \mapsto \varphi(g)(ただし N=ker⁡φN = \ker\varphi)は、商群 G/ker⁡φG/\ker\varphi から像 im⁡φ\im\varphi への群の同型写像を定める。

したがって G/ker⁡φ  ≅  im⁡φ.G / \ker\varphi \;\cong\; \im\varphi . 特に φ\varphi が全射(像が HH 全体)なら G/ker⁡φ≅HG/\ker\varphi \cong H である。

「同型 ≅\cong」とは、全単射な準同型写像が存在すること、すなわち「元の名前を付け替えれば完全に同じ群になる」ことを意味します。

なぜ成り立つのか:直観

写像 φ\varphi を「GG の元を HH に投影する光」だと思ってください。光を当てたとき、同じ影に重なる元たちがあります。φ(g)=φ(g′)\varphi(g) = \varphi(g') となる g,g′g, g' です。このとき φ(g−1g′)=φ(g)−1φ(g′)=e\varphi(g^{-1}g') = \varphi(g)^{-1}\varphi(g') = e ですから、g−1g′g^{-1}g' は核に入ります。逆に g−1g′∈ker⁡φg^{-1}g' \in \ker\varphi なら φ(g)=φ(g′)\varphi(g) = \varphi(g') です。つまり

「同じ影になる」   ⟺  \iff 「核の元だけ違う」

この一行が定理の心臓部です。商群 G/ker⁡φG/\ker\varphi とは「核の元だけ違うものを同一視した世界」ですから、それはちょうど「影の世界」= 像と、一対一に対応します。しかも φ\varphi が積を保つので、対応は群の構造ごと一致します。

証明

N=ker⁡φN = \ker\varphi とおきます。証明は4つの段に分かれます。各段で「何を示したいのか」を先に書きます。

第1段:核は正規部分群である

示したいこと: g∈Gg \in G、n∈Nn \in N ならば gng−1∈Ng n g^{-1} \in N。

φ\varphi が準同型であることから φ(gng−1)=φ(g) φ(n) φ(g)−1=φ(g) e φ(g)−1=e.\varphi(g n g^{-1}) = \varphi(g)\,\varphi(n)\,\varphi(g)^{-1} = \varphi(g)\, e\, \varphi(g)^{-1} = e . よって gng−1∈Ng n g^{-1} \in N。したがって商群 G/NG/N が定義できます。

第2段:写像 ψ:G/N→H\psi : G/N \to H が矛盾なく定まる

示したいこと: ψ(gN)=φ(g)\psi(gN) = \varphi(g) と定めたとき、剰余類の代表元 gg の選び方によらない。

gN=g′NgN = g'N とします。これは g−1g′∈Ng^{-1}g' \in N を意味するので φ(g−1g′)=e\varphi(g^{-1}g') = e、すなわち φ(g)−1φ(g′)=e\varphi(g)^{-1}\varphi(g') = e、よって φ(g)=φ(g′)\varphi(g) = \varphi(g')。代表元を取り替えても値は同じです。

第3段:ψ\psi は準同型である

示したいこと: ψ((gN)(g′N))=ψ(gN) ψ(g′N)\psi\big((gN)(g'N)\big) = \psi(gN)\,\psi(g'N)。

商群の演算の定義と φ\varphi の準同型性から ψ((gN)(g′N))=ψ(gg′N)=φ(gg′)=φ(g)φ(g′)=ψ(gN) ψ(g′N).\psi\big((gN)(g'N)\big) = \psi(gg'N) = \varphi(gg') = \varphi(g)\varphi(g') = \psi(gN)\,\psi(g'N).

第4段:ψ\psi は単射で、像は im⁡φ\im\varphi に一致する

単射: ψ(gN)=ψ(g′N)\psi(gN) = \psi(g'N) とすると φ(g)=φ(g′)\varphi(g) = \varphi(g')。すると φ(g−1g′)=e\varphi(g^{-1}g') = e なので g−1g′∈Ng^{-1}g' \in N、つまり gN=g′NgN = g'N。異なる剰余類は異なる行き先に送られます。

像: ψ\psi の値は φ(g)\varphi(g) の形の元すべてなので、ψ\psi の像は im⁡φ\im\varphi そのものです。 以上から、ψ\psi を終域を im⁡φ\im\varphi に制限した写像 G/N→im⁡φG/N \to \im\varphi は、準同型かつ全単射、すなわち同型です。

証明を振り返ると、使ったのは「φ\varphi が積を保つ」ことと「核の定義」だけです。それだけで、抽象的な商群が像と一致してしまうのが、この定理の美しいところです。

使いどころ

系(位数の関係)

GG が有限群なら、同型な群は元の個数が等しく、商群 G/NG/N の元の個数は ∣G∣/∣N∣|G|/|N| なので ∣G∣=∣ker⁡φ∣⋅∣im⁡φ∣.|G| = |\ker\varphi| \cdot |\im\varphi| . 「GG の大きさ = つぶれた分 × 残った分」です。

よくある誤解

誤解1:「G/ker⁡φG/\ker\varphi は GG の部分群である」

違います。G/ker⁡φG/\ker\varphi の元は GG の元ではなく、GG の元のまとまり(剰余類)です。GG の中にはありません。定理が言っているのは「部分群」ではなく「GG の元をまとめ直したものが、像と同型」です。

誤解2:「≅\cong は == と同じ」

同型は「群としての構造が同じ」という意味で、集合として等しいわけではありません。例1の R×/R>0\R^\times/\R_{>0} の元は「正の実数全体」と「負の実数全体」という2つの集合であり、+1,−1+1, -1 という数そのものではありません。

誤解3:「像はいつも HH 全体」

像は HH の部分群ですが、HH 全体とは限りません。φ:Z→Z\varphi : \Z \to \Z、n↦2nn \mapsto 2n の像は偶数全体です。「G/ker⁡φ≅HG/\ker\varphi \cong H」と書けるのは φ\varphi が全射のときだけです。

誤解4:「どんな部分群で割っても商群ができる」

商群 G/NG/N が群になるのは NN が正規部分群のときだけです。核はいつも正規(第1段)なので本定理では問題になりませんが、逆に「正規部分群はすべて何かの準同型の核である」ことも成り立ちます(自然な射影 G→G/NG \to G/N の核が NN)。

練習問題

問1. φ:Z→Z\varphi : \Z \to \Z を φ(n)=2n\varphi(n) = 2n で定める(足し算の群)。φ\varphi が準同型であることを確かめ、核と像を求め、準同型定理が何を主張するか述べよ。

略解

φ(m+n)=2(m+n)=2m+2n=φ(m)+φ(n)\varphi(m+n) = 2(m+n) = 2m + 2n = \varphi(m) + \varphi(n) なので準同型。2n=02n = 0 となるのは n=0n = 0 だけなので ker⁡φ={0}\ker\varphi = \set{0}。像は偶数全体 2Z2\Z。定理は Z/{0}≅2Z\Z/\set{0} \cong 2\Z、すなわち「整数全体と偶数全体は群として同型」(n↔2nn \leftrightarrow 2n で対応)と主張する。無限集合ならではの現象です。

問2. φ:Z/12Z→Z/4Z\varphi : \Z/12\Z \to \Z/4\Z を「1212 で割った余りを、さらに 44 で割った余りに送る」写像とする(時計の 1212 時間を 44 時間周期で見直す)。これが矛盾なく定まる理由を述べ、核と像を求め、位数の関係 ∣G∣=∣ker⁡φ∣⋅∣im⁡φ∣|G| = |\ker\varphi|\cdot|\im\varphi| を確認せよ。

略解

44 は 1212 の約数なので、1212 の倍数だけ違う数は 44 で割った余りも同じ。よって矛盾なく定まる。核は 44 で割り切れる余り、{0,4,8}\set{0, 4, 8}(3個)。像は {0,1,2,3}\set{0,1,2,3} 全体(4個)。12=3×412 = 3 \times 4 で一致。定理より (Z/12Z)/{0,4,8}≅Z/4Z(\Z/12\Z)/\set{0,4,8} \cong \Z/4\Z。

問3. n≥2n \ge 2 とする。「使いどころ」で述べた符号写像 sgn⁡:Sn→{+1,−1}\operatorname{sgn} : S_n \to \set{+1,-1} を使って、SnS_n の偶置換の個数が n!/2n!/2 であることを導け。

略解

sgn⁡\operatorname{sgn} は準同型(置換の合成の符号は符号の積)で、核は偶置換全体 AnA_n。n≥2n \ge 2 なら互換(2つを入れ替える置換)が存在し、その符号は −1-1 なので像は {+1,−1}\set{+1,-1} 全体。系より n!=∣An∣⋅2n! = |A_n| \cdot 2、よって ∣An∣=n!/2|A_n| = n!/2。

参考文献

Lean による形式的検証✓ 検証済み 2026-09-14 · leanprover/lean4:v4.34.0-rc2

以下は、この定理を証明支援系 Lean 4 と数学ライブラリ Mathlib で記述したものです。コンピュータが証明の正しさを機械的に検査しています。

lean/MathThemodel/FirstIsomorphism.lean

import Mathlib

/-!
# 準同型定理(群の第一同型定理) / First Isomorphism Theorem for groups

ページ: https://math.themodel.be/first-isomorphism-theorem/ja/ ,
https://math.themodel.be/first-isomorphism-theorem/en/

主張: 群の準同型 `φ : G →* H` に対して `G ⧸ φ.ker ≃* φ.range`。
ページ本文の証明(第1段〜第4段)に対応する補題を先に置き、最後に Mathlib の定理で同型を与える。
-/

namespace MathThemodel

variable {G H : Type*} [Group G] [Group H] (φ : G →* H)

/-- 補題1: 準同型の核 ker φ は G の正規部分群である。
    Lemma 1: the kernel of a homomorphism is a normal subgroup. -/
theorem ker_normal : φ.ker.Normal := inferInstance

/-- 補題2: 核 ker φ による剰余類の上で φ は矛盾なく定まり(well-defined)、
    誘導される写像 G / ker φ → H は [g] ↦ φ(g) で与えられる。
    Lemma 2: φ descends to the quotient, sending the coset [g] to φ(g). -/
theorem induced_map_apply (g : G) :
    QuotientGroup.kerLift φ (g : G ⧸ φ.ker) = φ g :=
  QuotientGroup.kerLift_mk φ g

/-- 補題3: 誘導された写像 G / ker φ → H は単射である。
    Lemma 3: the induced map is injective.
    証明: [a], [b] の像が等しいなら φ(a⁻¹ b) = φ(a)⁻¹ φ(b) = 1、
          すなわち a⁻¹ b ∈ ker φ、これは [a] = [b] を意味する。 -/
theorem induced_map_injective : Function.Injective (QuotientGroup.kerLift φ) := by
  intro a b h
  induction a using QuotientGroup.induction_on with
  | H a =>
    induction b using QuotientGroup.induction_on with
    | H b =>
      rw [QuotientGroup.kerLift_mk, QuotientGroup.kerLift_mk] at h
      rw [QuotientGroup.eq]
      exact φ.mem_ker.mpr (by rw [map_mul, map_inv, h, inv_mul_cancel])

/-- 準同型定理: G / ker φ ≅ im φ(群同型)。
    First Isomorphism Theorem: G / ker φ ≅ im φ. -/
noncomputable def firstIsomorphism : G ⧸ φ.ker ≃* φ.range :=
  QuotientGroup.quotientKerEquivRange φ

/-- 同型は [g] ↦ φ(g) で与えられる。
    The isomorphism is induced by φ itself. -/
theorem firstIsomorphism_apply (g : G) :
    ((firstIsomorphism φ) (g : G ⧸ φ.ker) : H) = φ g := rfl

/-- 系: φ が全射なら G / ker φ ≅ H。
    Corollary: if φ is surjective then G / ker φ ≅ H. -/
noncomputable def firstIsomorphismOfSurjective (hφ : Function.Surjective φ) :
    G ⧸ φ.ker ≃* H :=
  QuotientGroup.quotientKerEquivOfSurjective φ hφ

end MathThemodel